LSR 010 - 虚数单位与复数规范
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基本信息
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- LSR 编号 010
- 标题 虚数单位与复数规范
- 作者 Ziyang-Bai
- 状态 草案
- 类型 标准规范
- 创建日期 07-28-2026
- 归属项目 编译器、标准库、CAS

摘要
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定义虚数单位 ``i``、复数字面量、复数类型提升和 ``Expr`` 中复数的表示边界。

技术规范
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1. 设计目标
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- 明确 ``3 + 4i`` 的语法含义
- 避免虚数单位与普通变量或 ``sym`` 声明冲突
- 保持 ``Complex (C) ⊂ Expr`` 的数值塔规则
- 为 LMCAS 提供稳定的复数表达接口

2. 虚数单位
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``i`` 是预定义虚数单位，满足：

.. code-block:: text

   i^2 == -1


规则：

- ``i`` 是预定义常量，不是普通变量
- 用户不得在同一作用域重新绑定 ``i``
- ``sym i`` 非法，必须报错 ``ImaginaryUnitReserved``
- 标准库可同时导出 ``std.math.i`` 与 ``std.math.I``，二者表示同一虚数单位

3. 复数字面量
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虚数字面量由数值字面量紧跟后缀 ``i`` 构成，中间不得有空白。

.. code-block:: text

   let a = 4i
   let b = 3 + 4i
   let c = -2.5i
   let d = 1/2 + 3/4i


规则：

- ``4i`` 等价于 ``4 * i``
- ``3 + 4i`` 等价于复数 ``complex(3, 4)``
- ``3 + 4 * i`` 同样合法，但按普通乘法解析
- ``4 i`` 非法，必须报错 ``ComplexLiteralSpacing``

4. 复数类型
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``complex`` 表示复数值，逻辑结构为实部与虚部：

.. code-block:: text

   complex = real_part + imaginary_part * i


规则：

- 实部和虚部均为数值类型
- 数值塔中 ``R ⊂ C``
- 实数与复数二元运算时，实数自动提升为复数
- 复数参与 ``Expr`` 运算时整体提升为 ``Expr``

5. 与 ``Expr`` 的关系
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当复数进入 ``Expr``，它必须作为明确的复数表达式保留，不得拆成普通变量 ``i``。

.. code-block:: text

   sym x
   let z = x + 2i       # Expr


规则：

- ``i`` 在 ``Expr`` 中仍表示虚数单位
- CAS 后端应提供虚数单位节点或复数节点
- ``i`` 不参与普通符号变量绑定
- ``Expr`` 降级为 ``complex`` 必须显式求值，且表达式中不得有未绑定符号

6. 相等性
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结构相等 ``==`` 与数学等价 ``===`` 分别遵循 LSR-000 和 LSR-007。

.. code-block:: text

   (i * i) === -1       # true，若当前等价 profile 支持复数基础规则


规则：

- ``i^2 -> -1`` 属于复数基础规则
- 复数结构相等比较实部与虚部
- ``Expr`` 中复数等价判定仍受预算限制

7. 标准库要求
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``std.math`` 必须暴露：

.. list-table::
   :header-rows: 1

   * - 名称
     - 类型
     - 说明
   * - ``i``
     - ``complex``
     - 虚数单位
   * - ``I``
     - ``complex``
     - ``i`` 的别名
   * - ``complex``
     - ``func complex(re num, im num) -> complex``
     - 构造复数
   * - ``real``
     - ``func real(z complex) -> num``
     - 实部
   * - ``imag``
     - ``func imag(z complex) -> num``
     - 虚部
   * - ``conj``
     - ``func conj(z complex) -> complex``
     - 共轭
   * - ``abs``
     - ``func abs(z complex) -> num``
     - 模长


8. 错误模型
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- ``ImaginaryUnitReserved``: 尝试绑定或声明 ``i``
- ``ComplexLiteralSpacing``: 虚数字面量后缀前存在非法空白
- ``ComplexTypeMismatch``: 复数操作收到不兼容类型
- ``ComplexEvalUnboundSymbol``: ``Expr`` 降级为 ``complex`` 时存在未绑定符号

9. 与其他 LSR 的关系
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- LSR-000：声明 ``complex`` 类型、数值塔和 ``3 + 4i`` 示例
- LSR-004：``std.math`` 应暴露复数相关常量与函数
- LSR-007：``Expr`` 上复数等价判定由有限规则和预算约束
- LSR-009：复数结果可出现在 ``set<complex>`` 或 ``set<Expr>`` 中